viernes, 17 de agosto de 2012

La física de las cuerdas

Cuando un violinista desliza el arco del violín a través de una cuerda, la hace vibrar. Cuanto más larga sea esta cuerda, o menos tensa esté, la vibración será más lenta y el tono que escuchemos, más bajo. Y cuanta más fuerza y rapidez se empleen en el manejo del arco, cada vibración será mayor y cada sonido más fuerte.

El efecto más evidente es que, como muestra el dibujo, toda la cuerda oscila con las vibraciones de un lado a otro (1).

Este movimiento genera un tono llamado fundamental, que es, con diferencia, el que nuestros oídos perciben más fácilmente: cuando un músico toca un Do, el fundamental está también en Do.

Pero ésta es únicamente la pauta más simple en que puede vibrar una cuerda cuando la pulsa un arco. Al ser tan flexible, oscila simultáneamente de muchos otras formas, y todas ellas están en una relación aritmética simple con el tono fundamental.

Una de estas pautas de vibración es, como se ve en la imagen, la cuerda comportándose como si estuviera dividida en dos y vibrando por lo tanto en dos curvas (2).

Debido a que cada uno de los dos segmentos tiene la mitad de la longitud de la cuerda, la frecuencia de las vibraciones es el doble que en el tono fundamental, y el tono es una octava más alto. La cuerda oscila como si estuviera dividida en tres (3).

Y, del mismo modo, como si estuviera dividida en cuatro, en cinco partes, etcétera. Todas estas frecuencias adicionales y simultáneas reciben el nombre de armónicas. Aunque un oído no entrenado no suele ser consciente de ello, escucha ocho o nueve de estas frecuencias, presentes dentro de cualquier tono, antes de que pasen a la categoría de inaudibles, donde nuestro sentido auditivo no puede ya percibirlas.

¿Pero cuáles son los sonidos que oímos realmente en este universo de frecuencias? Para empezar, el cuadro es aún más complicado que lo que hasta aquí hemos expuesto: el movimiento de la cuerda hace que el puente y todo el cuerpo del instrumento vibren también, todos en diferentes e inacabables pautas, junto con el aire de su interior. Cuando la frecuencia de algunas de estas pautas es la misma que la frecuencia de alguna de las pautas de las cuerdas -o un múltiplo exacto de ella- sonará el tono correspondiente a la misma. Es este complejo de ondas de sonido lo que hace que un violín suene así.

La ley pitagórica de las cuerdas

Mientras que estos legendarios descubrimientos difícilmente encontrarían base para un litigio legal sobre la prioridad, el descubrimiento del filósofo griego Pitágoras, que vivió a mediados del siglo VI antes de Cristo está bien documentado. Convencido de que el mundo está gobernado por los números, investigó la relación entre las longitudes de las cuerdas en los instrumentos musicales que producen combinaciones armónicas de sonidos.

A este propósito empleó el llamado "monocordio", es decir, una sola cuerda cuya longitud se puede variar y someter a diferentes tensiones producidas por un peso suspendido a su extremo. Usando el mismo peso y variando la longitud de la cuerda, vio que los pares de sonidos armónicos se producían cuando las longitudes de la cuerda estaban en relaciones numéricas sencillas. La razón de longitud 2:1 correspondía a lo que hoy llamamos "octava'"; la razón 3:2 a una "quinta", la razón 1:3 a una "cuarta". Este descubrimiento fue probablemente la primera formulación matemática de una ley física y se puede muy bien considerar como el primer paso en el desarrollo de lo que boy conocemos como física teórica.

En la moderna terminología física podemos formular de nuevo el descubrimiento de Pitágoras diciendo que la frecuencia, e s decir, el número de vibraciones por segundo de una cuerda determinada, sujeta a una tensión dada, es inversamente proporcional a su longitud. Así, si la segunda cuerda (Figura 1 b) es la mitad de larga que la primera (Figura 1a), su frecuencia será dos veces mayor. Si las longitudes de las dos cuerdas están en la proporción de 3:2 ó 4:3, sus frecuencias estarán en la proporción de 2:3 ó 3:4 (Figura 1 c, d).

Como la parte del cerebro humano que recibe las señales de los nervios del oído está construida de tal forma que una sencilla relación de frecuencia como 3:4 proporciona "placer", mientras que una compleja como 137:171 "desplacer" (hecho que tendrán que explicar los futuros fisiólogos del cerebro), la longitud de las cuerdas que dan un acorde perfecto deben estar en una relación numérica sencilla.

Pitágoras intentó dar un paso más al sugerir que, como el movimiento planetas "debe ser armonioso", sus distancias de la Tierra deben estar en las mismas relaciones que la longitud de las cuerdas (bajo la misma tensión) que producen las siete notas fundamentales de la lira, el instrumento musical nacional de los griegos. Esta idea ha sido probablemente el primer ejemplo de lo que ahora se llama a menudo "teoría física patológica".

 

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